A intervenção do professor para a construção do conceito de numero
O professor é o instrumento principal no processo de aprendizagem, no ensino de matemática é observada uma maior dificuldade do aluno e uma grande rejeição por parte deles.
Quando for detectada a dificuldade na matéria, o professor deve intervir observando em qual parte da aprendizagem o aluno tem problema, normalmente quando não há uma boa didática do professor, a matemática e a resolução dos problemas viram um bloqueio para as crianças das séries iniciais, para os alunos que estão conhecendo a matemática teve ser usada uma metodologia adequada para cada idade, devemos usar problemas do cotidiano dos alunos para que sejam compreendido melhor os exercícios, com amor do professor pela matéria e a vontade de ensinar, o aluno pegará o gosto pelos números.
A construção do conceito dos números é a parte inicial da aprendizagem da matemática, para que o aluno tenha maior proveito na aprendizagem, deve ser adotado pela escola e pelos professore metodologias que atraiam o interesse da criança pelos números, incluindo essas atividades junto ao cotidiano das crianças, assim ela se interessará pelo assunto abordado, e a aprendizagem ficará muito mais prazerosa, reduzindo assim a dificuldade que a maioria das crianças tem com a matemática.
Surgimento e utilidades do ábaco para a humanidade.
O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,..) que podem fazer-se deslizar livremente. Teve origem provalvemente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos, pelo menos em sua forma primitiva e depois os chineses e romanos o aperfeiçoaram. Daí, uma variedade de ábacos foram desenvolvidos; o mais popular utiliza uma combinação de dois números-base (2 e 5) para representar números decimais. O ábaco pode ser considerado como uma extensão do ato natural de se contar nos dedos. Emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dez. Ele é utilizado ainda hoje para ensinar às crianças as operações de somar e subtrair.
“ O ábaco ajuda a criança a visualizar os números e assim poder aprender a calcular, de uma forma lúdica”.
Há vários tipos diferentes de ábacos, mas todos obedecem basicamente aos mesmos princípios. Vamos nos referir ao mais simples deles. Numa moldura de madeira são fixados alguns fios de arame. Dez bolinhas correm em cada fio. As do 1º fio representam as unidades; as do 2º fio representam as dezenas; as do 3º fio, as centenas e assim por diante.
Para a resolução das operações utilizando o ábaco, nesse primeiro momento realize operações de adição sem reagrupamento, ou seja, sem reserva nas dezenas. Para tanto, cada criança deverá ter dois ábacos para representar os dois números na soma, (ábaco A representa o número 35 e o ábaco B o número 24).
Exemplo da atividade com a operação 35 + 24
Agora realize operações de subtração sem reagrupamento, ou seja, não há reserva nas dezenas. Para tanto, cada criança deverá ter dois ábacos para representar os dois números na subtração, (ábaco A representa o número 77 e o ábaco B representa o número 51).
Exemplo da atividade com a operação 77 – 51
Propor também que os alunos realizem operações de adição e de subtração com reagrupamento. No entanto, notará a presença de um novo passo para a realização das operações. Cada criança deverá ter dois ábacos para representar os números, tanto na adição quanto na subtração.
Exemplo de adição com reagrupamento:
25 + 16 (um ábaco para representar o número 25 e outro para representar o 16)
Exemplo de subtração com reagrupamento:
51 - 17 (um ábaco para representar o número o 51 e outro para representar o número 17 )
Para sabermos se os alunos aprenderam a estrutura do ábaco, bem como a forma de realizar as operações, devemos verificar o processo realizado pelas crianças para chegarem ao resultado. Agora vejamos uma atividade proposta para aluno do 5º ano do ensino fundamental.
Atividade:
Identifique os números no ábaco e depois resolva algumas situações problemas. Observe:
Qual é o número representado pelo ábaco: A: 36,B: 28, C: 11.
Agora, utilizando o espaço abaixo para realizar as operações, responda com muita atenção:
A. Some o número do ábaco A com o número do ábaco C.
O resultado será: 47.
B. Subtraia o número do ábaco A com o número do ábaco C.
O resultado será: 25.
C. Some o número do ábaco B com o número do ábaco C.
O resultado será: 39.
D. Subtraia o número do ábaco B com o número do ábaco C.
O resultado será: 17.
E. Some o número do ábaco B com o resultado do item a.
O resultado será: 75.
F. Subtraia o número do ábaco B com o resultado do item b.
O resultado será: 03.
Competências da criança:
Lucas Bezerra de Oliveira, 11 anos, cursando 5° ano do ensino fundamental.
A proposta apresentada para o aluno foi de fácil entendimento, pois o mesmo tinha algum conhecimento do assunto. Iniciamos a atividade apresentando o ábaco e os seus valores, sendo a cor azul dezenas e a verde unidade. O aluno mostrou interesse respondendo as questões usando risquinhos no caderno para fazer a contagem e a subtração e as vezes fazia o cálculo mental em voz alta. Foi de grande interesse a participação dele para realizar os exercícios.
20 situações em que as operações matemáticas são utilizadas:
- Adição: arme e efetue
- Divisão: contas
- Subtração: resolver
- Campo multiplicativo: ( problema )
- Calendário: dia , mês e ano
- Medidas de superfície: ( calculando áreas )
- Sequência de números de 0 a 100
- Calculo mental
- Tabelas e gráficos
- Pesos e medidas
- Jogos
- Trabalhando com dinheiro
- Tabela de campeonato de futebol
- Par o ímpar
- Grandezas e medidas
- Tabuada
- Aprendendo a usar a calculadora
- Pesos e volumes
- Formas geométricas planas
- Frações no dia a dia
Atividade Proposta em sala de aula para 5ª serie.
Sequência de números
Tabelas e gráficos
A tradição do ensino de matemática, anos atrás era visto como bicho de sete cabeças, mas que fazia parte do seu dia a dia.
Para ensinar o assunto é importante considerar o que a criança já sabe, e elaborar estratégias valorizando a hipótese que faz parte da vida social.
Atividade proposta é fazer com que a criança tenha conhecimento das sequências de números através da tabela, e consiga resolver e responder as questões de acordo com que esta pedindo o exercício.
Através da atividade aplicada observamos a precisão dos cálculos e aplicação adequadas de ferramentas matemáticas.
A escrita dos cálculos e as técnicas operatórias
“Conversas sobre números ações e operações”, de Luiza Faraco Ramos, (PLT).
Segundo Piaget; A criança estando no final do período pré-operatório, em movimento para o período operatório concreto, faz operações e transformações agindo com objetos, pois seu pensamento ainda não está articulado para relações abstratas. Afirma Piaget, sobre a educação matemática nos anos iniciais.
A matemática consiste, em primeiro lugar e acima de tudo, em ações exercidas sobre as coisas. As próprias operações são, também, sempre ações executas materialmente.
Sem dúvida, é indispensável que se chegue à abstração no decorrer do desenvolvimento mental da adolescência, mas essa abstração se reduzirá a uma espécie de embuste se não forem os resultados de uma série ininterrupta de ações concretas anteriores.
A proposta da autora neste livro (PLT) nos mostra possibilidades de construir e reinventar a matemática de forma simples, natural e divertida, dando significado à aprendizagem através de brincadeiras, criando e respeitando a criança como ela é.
Cita dois aspectos que se mostram fundamentais para realizar e registrar cálculos numéricos: O conhecimento da estrutura lógica do sistema de numeração decimal e o significado das operações.
Quanto mais material concreto a criança utilizar para fazer contagens e jogos, mais possibilidades ela terá de realizar cálculos mentais, diz que , não é o ensino das técnicas operatórias que o aluno compreende as operações e sim o envolvimento desse aluno com a ação realizada no concreto, no pegar, separar, tirar, colocar, experimentando, vivenciando, visualizando e realizando, criando formas pessoais de representar por escrito essas ações.
Técnicas Operatórias Expandidas- é uma das técnicas defendida pela autora Luiza F. Ramos, nos declara que além dos registros, estimula o pensamento quantitativo, decompõe e compõe números de forma simultânea, com mais flexibilidade.
“A Criança e o Número", de Constance Kamii.
Segundo KAMII (1990), “O objetivo de ensinar o número é o da construção que a criança faz da estrutura mental do número”. O professor deve priorizar o ato de encorajar a criança a pensar autonomamente em todos os tipos de situação. A criança não constrói o número fora do seu contexto geral ou do seu pensamento no dia-a-dia. Portanto, para as crianças pequenas não existe distinção entre trabalho e jogo. Cabe ao professor buscar formas de ensinar que maximizem os pontos comuns existentes entre essas duas atividades, trazendo-os para o contexto escolar para serem realizados em grupos.
PCN (1998), os jogos podem contribuir para um trabalho de atitudes – enfrentar desafios, lançar-se à busca de soluções, desenvolvimento da crítica, da intuição, da criação de estratégias e da possibilidade de alterá-las quando o resultado não é satisfatório – necessário para aprendizagem da matemática.
Com propriedade, Constance defende que, diferentemente do que algumas interpretações indicam, desenvolver e exercitar os aspectos lógicos do número com atividades pré-numéricas (seriação, classificação e correspondência termo a termo) é uma aplicação equivocada da pesquisa de Jean Piaget (1896-1980). Na realidade, o cientista suíço tinha preocupações epistemológicas e não didáticas. Sabe-se que as noções numéricas são desenvolvidas com base nos intercâmbios dos pequenos com o ambiente e, portanto, não dependem da autorização dos adultos para que ocorram. Ninguém espera chegar aos 6 anos para começar a perguntar sobre os números...
O texto enfatiza que uma criança ativa e curiosa não aprende Matemática memorizando, repetindo e exercitando, mas resolvendo situações-problema, enfrentando obstáculos cognitivos e utilizando os conhecimentos que sejam frutos de sua inserção familiar e social. Ao mesmo tempo, os avanços conquistados pela didática da Matemática nos permitem afirmar que é com o uso do número, da análise e da reflexão sobre o sistema de numeração que os pequenos constroem conhecimentos a esse respeito.
Também merecem destaque algumas posturas que o professor deve levar em conta ao propor atividades numéricas, como encorajar as crianças a colocar objetos em relação, pensar sobre os números e interagir com seus colegas.
Também merecem destaque algumas posturas que o professor deve levar em conta ao propor atividades numéricas, como encorajar as crianças a colocar objetos em relação, pensar sobre os números e interagir com seus colegas.
Trecho do livro
"Quando ensinamos número e aritmética como se nós, adultos, fôssemos a única fonte válida de retroalimentação, sem querer ensinamos também que a verdade só pode sair de nós. Então a criança aprende a ler no rosto do professor sinais de aprovação ou desaprovação. Tal instrução reforça a heterônoma da criança e resulta numa aprendizagem que se conforma com a autoridade do adulto. Não é dessa forma que as crianças desenvolverão o conhecimento do número, a autonomia, ou a confiança em sua habilidade matemática. (...) Embora a fonte definitiva de retroalimentação esteja dentro da criança, o desacordo com outras crianças pode estimulá-la a reexaminar suas próprias ideias. Quando a criança discute que 2 + 4 = 5, por exemplo, ela tem a oportunidade de pensar sobre a correção de seu próprio pensamento se quiser convencer a alguém mais. É por isso que a confrontação social entre colegas é indispensável(...)”.
- A autora foi aluna e colaboradora de Piaget e pioneira ao propor o ensino da Matemática com o aluno como sujeito do processo. As pesquisas no campo da Didática da Matemática, iniciadas nas décadas de 1970 e 1980, sobretudo na França, estão mudando o ensino da disciplina às descobertas teóricas de especialistas como Gérard Vergnaud e Guy Brousseau, hoje é possível ensinar de forma que as crianças vejam sentido na aprendizagem matemática e possam reutilizar os conhecimentos adquiridos a cada novo problema proposto. Nessa perspectiva, são priorizadas estratégias nas quais os alunos confrontam seu raciocínio com o dos colegas nas discussões em grupo, justificam suas escolhas e registram suas próprias hipóteses, buscando resolver situações-problema com mais autonomia. O que antes era considerado erro do aluno ou falta de conhecimento do conteúdo hoje é conhecido como diferentes formas de resolver situações-problema. Primeiro, o material deve ser oferecido às crianças antes das explicações teóricas e do trabalho com lápis e papel. É preciso que os alunos tenham tempo e liberdade para explorar o material, brincar um pouco com ele, fazer descobertas sobre sua organização,propondo questões, estimulando os alunos a manifestarem sua opinião, são essenciais, a ação e o raciocínio do aluno, pois, só ele mesmo pode formar as noções matemáticas, apartir da observação e manipulação, da troca de ideias entre alunos e o professor é que as relações matemáticas começam a ser percebidas e enunciadas.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1997) enfatizam a necessidade de ampliação de diferentes procedimentos e tipos de cálculos – mental ou escrito, exato ou aproximado, porém algumas escolas se limitam em utilizar o cálculo escrito e o exato. Entretanto, quando defendemos uma ampliação nos procedimentos e tipos de cálculos usados pelo aluno acreditamos que esse formato acaba se tornando inadequado.
Comenius (2002) quando discorre sobre como deveria ser a organização das escolas a disciplina é comparada a uma prensa de tipografia, que predispõe e obriga todos os papéis, no caso os alunos, a absorverem os ensinamentos. “Assim como, para transformar-se em livro, nenhum papel pode escapar da prensa (mais dura para os papéis mais duros e mais delicada para os mais delicados), ninguém que frequente a escola para receber instrução poderá escapar da disciplina comum” (ibid., p. 366)
Alguns professores acreditam que nas aulas que exigem maior capacidade cognitiva, como é o caso das que fazem uso do cálculo mental, é necessário criar um espaço para que o aluno possa explicitar os procedimentos utilizados na resolução das situações–problema. Nesse momento é inevitável o aparecimento de modos múltiplos de interação – professor / aluno, aluno / aluno, aluno / turma.
Uma pesquisa realizada por Butlen e Pezard (1992) se baseia em duas ideias sobre o papel do cálculo mental nas aprendizagens numéricas. A primeira está relacionada ao fato de admitir que o cálculo mental parece ser um campo privilegiado para testar as concepções numéricas dos alunos e sua disponibilidade. A outra ideia diz respeito às sessões de cálculo mental, consideradas espaços de trabalho intensivo para a realização desses testes.
Os autores verificaram que a interação social desencadeada durante as sessões de cálculo mental favorece a aprendizagem tanto do ponto de vista individual como do ponto de vista coletivo. Do ponto de vista individual ajuda o aluno, por um lado, a organizar seu pensamento, devido ao fato de ter de expressá-lo para outras pessoas aumentando o grau de articulação e de precisão na verbalização. Por outro, agiliza o trabalho cognitivo, pois o aluno é estimulado a encontrar rapidamente uma solução para a situação–problema apresentada, buscando técnicas eficazes e adequadas, bem como levando-o a explorar outros caminhos.
Do ponto de vista coletivo é possível verificar um maior envolvimento dos alunos, pois esses são incitados a comparar os diferentes procedimentos, fazendo escolhas por um em específico “[...] em função de suas concepções numéricas, e por interesse pessoal em economia [...]” (BUTLEN; PEZARD, 1992, p. 336). Fato que permite enriquecer suas capacidades de cálculo.
Além do conflito sócio-cognitivo desencadeado quando o aluno faz uma comparação entre a estratégia empregada por ele e a empregada por outros, o estado de desequilíbrio provocado pela situação proposta permite a construção de novos esquemas. Tais esquemas ajudarão o aluno a enfrentar outros desafios e automatizar o cálculo. Contudo, a automatização do cálculo é o resultado de um processo atingido após várias sessões de estudo nas quais o aluno é desafiado a estimar valores, testar hipóteses, comparar diferentes procedimentos e descobrir estratégias variadas de cálculo.
A prática do cálculo mental, apesar de não ser muito estimulada em algumas escolas, pode desenvolver habilidades como a atenção, a memória e a concentração. Além disso, o trabalho sistemático envolvendo o cálculo mental possibilita a memorização de um repertório básico de cálculo. O trabalho sistemático com cálculo mental em sala de aula, como ocorre em alguns países, indica que ele ajuda a desenvolver esses tipos de habilidades. Essa possibilidade que parece não ser percebida, de modo geral, pelo currículo escolar brasileiro, que dispende pouca atenção ao cálculo mental o reduz “[...] à memorização mecânica de fatos numéricos sem que sejam levadas em consideração as estratégias nele envolvidas” (CORREA e MOURA, 1997, p. 2).
Talvez por esse motivo, alguns professores acreditam que o uso do cálculo mental é sinônimo de cálculo decorado, incentivado pela teoria comportamentalista, proposta por Skinner. Contudo, no trabalho com o cálculo mental não basta reter uma quantidade enorme de informações é preciso colocá-la em ação diante de situações-problema, pois somente o aluno que compreendeu as regras contidas no seu repertório é que poderá ter êxito em situações envolvendo cálculos dessa natureza. É necessário que antes de atingir a memorização, o processo de aquisição desse repertório passe pela construção e organização de fatos fundamentais de uma dada operação, por isso mesmo podemos denominá-la de memorização compreensiva.
Cabe ressaltar que o trabalho com o cálculo mental é um trabalho individual de desenvolvimento da memória, pois cada um possui estratégias e procedimentos diferentes que serão disponibilizados no contato com a situação–problema. O cálculo mental também contribui para um maior domínio do cálculo escrito à medida que o agiliza, além de permitir ao aluno perceber algumas propriedades e regularidades das operações.
Outra pesquisa realizada por Butlen e Pezard (2000), com alunos do 2º ciclo do ensino básico, constatou que o trabalho com o cálculo mental gera realmente um ganho de tempo, proveniente da economia realizada por não recorrer à escrita e pelo ritmo e sucessão rápida das atividades. Os alunos conduzidos para o cálculo mental não somente calculam melhor como também reconhecem mais as operações a efetuar e cometem menos erros de cálculo.
Os autores afirmam ainda que, graças ao cálculo mental, os alunos se familiarizam com os números e podem explorar rapidamente diferentes caminhos de resolução dos problemas, encorajando-os a não recorrer imediatamente a certos algoritmos confiáveis, mas que necessitam de maior tempo para resolução.
A análise das regras de ação do tipo “se... então...” utilizadas pelo aluno no trabalho com o cálculo mental também podem constituir material de pesquisa. Tal análise permite evidenciar e hierarquizar os procedimentos utilizados na resolução de uma situação-problema que solicita, por exemplo, o resultado de 15 x 8. O aluno poderia explicar que realizou a seguinte operação mental: se 5 é a metade de 10 e 10 x 8 = 80, então 5x 8= 40, logo 80 + 40 = 120. Podemos perceber nesse exemplo a utilização da propriedade distributiva da multiplicação e da adição reiterada, obtendo a solução, sem que fosse preciso usar o algoritmo.
Vale destacar que para a análise das regras do tipo “se... então...” também temos que considerar o sujeito em ação, na busca de uma solução à situação proposta. Ressaltamos ainda, que é diante de uma variedade de situações que podemos evidenciar a operacionalidade de um conceito. Isso porque consideramos, assim como Vergnaud (1985), que existe uma reciprocidade muito grande entre conceito e situação, tendo em vista que um conceito remete a muitas situações e uma situação remete a muitos conceitos. Acreditamos que o trabalho com o cálculo mental permite comprovar essa reciprocidade e favorecer a aprendizagem de conceitos matemáticos.
Cabe ressaltar, também, que podemos observar dois tipos de cálculo mental: o automatizado e o refletido. Segundo Anselmo e Planchette (2006), o cálculo automatizado pode ser definido como o cálculo onde os resultados são produzidos imediatamente de maneira espontânea, sem consciência do caminho seguido.
Já no cálculo refletido os resultados são obtidos por uma reconstrução pessoal. Esse tipo de cálculo apoia-se sobre propriedades conhecidas e dominadas pelo sujeito. Para um mesmo cálculo, os procedimentos variam de acordo com os indivíduos, com o momento e com o contexto onde este cálculo é proposto. Os procedimentos são elaborados partir das propriedades implícita ou explicitamente conhecidas das operações (comutatividade, distributividade, associatividade) e de resultados memorizados.
De acordo com os autores, o resultado de um mesmo cálculo pode revelar um cálculo automatizado ou refletido, variando conforme os indivíduos, o momento e o contexto onde esse cálculo é proposto. Contudo, as duas formas de cálculo convivem e evoluem, tendo em vista que o cálculo refletido se nutre do cálculo automatizado, pois a prática faz com que a memorização aconteça, talvez por preocupação de economia, fazendo este se torne mais atuante no cálculo mental.
O cálculo mental permite ao aluno construir novos esquemas de ação, estabelecer um espaço de múltiplas interações em sala de aula, desenvolver habilidades como a atenção, a memória e a concentração, ampliar o repertório de cálculo e agilizar seu uso. Além disso, tal prática poderá auxiliar o professor a identificar invariantes operatórios mobilizados em situações–problema e atuar diretamente neles.
REFERÊNCIAS
Livro-Texto da Disciplina
RAMOS, Luiza F. Conversas sobre números, ações e operações: uma proposta criativa para o ensino da matemática nos primeiros anos. São Paulo: Ática, 2009.
KAMII, Constance. A criança e o número. Campinas: Editora Papirus,2000.
Teoria Didática e o Ensino da Matemática
BUTLEN D. e PEZARD M. Une contribution à l’étude des rapports entre habiletés calculatoires et résolution de problèmes numériques à l’école primaire et au début du collège, Spirale, Revue de Recherche en Education, vol 31, 117-140, Lille, 2003.
BUTLEN, D.; PEZARD, M. et al., Calcul mental et résolution de problèmes numériques au début du collège, Repères-IREM, n° 41, 5-24, Topiques Editions, Metz, 2000.
BUTLEN. D. e PEZARD, M. Calcul Mental et Resolution de Problemes Multiplicatifs, une Experimentation du CP au CM2. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 12, nº. 23, pp. 319-368, 1992.
COMENIUS, ÁMOS. Didática Magna. São Paulo: Martins
VERGNAUD, G. Conceitos e esquemas numa teoria operatória da representação. Trad. de FRANCHI, A., CARVALHO, D. L. Psychologie Française, n 30-3/4, p.245-52, nov.1985.
ANSELMO, B.; PLANCHETTE, P. , Le calcul mental au collège: nostalgie ou innovation? Repères IREM. Num. 62. p. 5-20, 2006.
parabéns Paulinha nosso blog ficou mara...
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